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Max-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall. Ähnlich zum ein- und mehrdimensionalen Fall, tritt ein solcher Prozess als Grenzwert der Maxima von angemessen normalisierten unabhängigen Kopien eines stochastischen Prozesses auf.

• Definition

• Allgemeines

• Einzelnachweise

Sei T {\displaystyle T} eine beliebige Indexmenge. Ein stochastischer Prozess X {\displaystyle X} heißt max-stabil, falls es Normalisierungskonstanten a n ( t ) > 0 , b n ( t ) ∈ ∈ R {\displaystyle a_{n}(t)>0,b_{n}(t)\in \mathbb {R} } gibt, sodass für unabhängige Kopien X 1 , … … , X n {\displaystyle X_{1},\dotsc ,X_{n}} des Prozesses X {\displaystyle X} giltcite-ref-1[1]

( max i = 1 n X i ( t ) − − b n ( t ) a n ( t ) , t ∈ ∈ T ) = d ( X ( t ) , t ∈ ∈ T ) {\displaystyle \left({\frac {\max _{i=1}^{n}X_{i}(t)-b_{n}(t)}{a_{n}(t)}},t\in T\right){\overset {d}{=}}(X(t),t\in T)} .

Die eindimensionalen Randverteilungen eines max-stabilen Prozesses sind durch eine der drei univariaten Extremwertverteilungen gegeben. Im Falle von Fréchet-verteilten Rändern d. h. P ( X ( t ) ≤ ≤ x ) = e − − 1 / x {\displaystyle \mathbb {P} (X(t)\leq x)=e^{-1/x}} können die Normalisierungskonstanten wie folgt gewählt werden: a n = n , b n = 0 {\displaystyle a_{n}=n,b_{n}=0} .

Seien Y i , i = 1 , … … , n {\displaystyle Y_{i},i=1,\dotsc ,n} unabhängige Kopien des stochastischen Prozesses Y {\displaystyle Y} . Gibt es nun Normalisierungskonstanten c n ( t ) > 0 , d n ( t ) ∈ ∈ R {\displaystyle c_{n}(t)>0,d_{n}(t)\in \mathbb {R} } , sodass gilt max i = 1 n Y i ( t ) − − d n ( t ) c n ( t ) → → X ( t ) {\displaystyle \max _{i=1}^{n}{\tfrac {Y_{i}(t)-d_{n}(t)}{c_{n}(t)}}\rightarrow X(t)} für n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } und t ∈ ∈ T {\displaystyle t\in T} und der Prozess X {\displaystyle X} ist nicht degeneriert, so ist X {\displaystyle X} ein max-stabiler Prozess. Ein max-stabiler Prozess mit einfachen Fréchet-verteilten Rändern kann mithilfe seiner Spektraldarstellung konstruiert werden.cite-ref-2[2]

cite-note-11. ↑ Maximilian Zott: Extreme Value Theory in Higher Dimensions - Max-Stable Processes and Multivariate Records. (uni-wuerzburg.de [abgerufen am 7. Oktober 2019]).

cite-note-22. ↑ Laurens de Haan: A Spectral Representation for Max-stable Processes. In: The Annals of Probability. 1984.